En marge du problème des cercles tangents Comme le problème des cercles tangents touche de près aux structures tonales (l'objet de mes recherches), j'ai pensé vous entretenir d'un aspect heuristique intéressant relié à la musique et aux nombres rationnels. Pour simplifier mon propos, je place sur une droite, aux abcisses 1 et 2 (les limites de l'octave), 2 cercles tangents Ca et Cb de diamètre = 1. L'abcisse du premier cercle C1, inscrit entre Ca, Cb et la droite, est 3/2. Dans les deux interstices sont inscrits C2 et C3, tangents à la droite en 4/3 et 5/3. Et ainsi de suite, de C4 à C7 en 5/4, 7/5, 8/5 et 7/4... En musique ces nombres correspondent à des tons connus : quinte, quarte, sixte majeure, tierce majeure, triton blues, sixte mineure, septième mineure blues...
Ma définition précise de la sonance (à distinguer de la rugosité) pour un intervalle de fraction réduite a/b est (log a + log b), celle de la largeur étant (log a - log b). Alors, de façon imagée, la grandeur des cercles tangents illustre (en gros) l'importance décroissante des tons dissonants : log (diamètre) = largeur - sonance. Soit N = [a b c ... d] = a + 1/(b + 1/(c + 1 ... /(d + 1))) une notation particulière des fractions continues où l’on doit ajouter le 1 final. La convergence des abscisses vers le nombre d'or ( 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 ...) correspond à l’ajout d’un 1 dans la fraction continue [1 1 1 1 ...] et à l’alternance simple, à droite puis à gauche puis…, pour le prochain cercle tangent : ( C1 C3 C6 C13 C26 C53 ...). Pour comparer, on peut chercher à atteindre la racine carrée de 2, reliée aussi à l'approximation des irrationnels, et découvrir l'alternance [X 2 2 2 2...] avec ( C1 C2 C5 C11 C22 C44 C89...). À première vue, les numéros de cercle paraissent bien aléatoires. Mais ils correspondent, en fait, à un système de numération des rationnels tout à fait simple. Et, bien sûr, on ne peut parler de numération que si on atteint tous les rationnels, une seule fois, et si la conversion est aussi rapide que la représentation décimale d'un entier. Mais d'abord, qu'est-ce qu'un irrationnel ? On peut faire image en disant que c'est une valeur d’abscisse qui n'est jamais atteinte avec un nombre fini de cercles. En deçà, comme on peut aller aussi loin que l'on veut, on peut atteindre tous les rationnels, bien qu’ici on se soit limité au segment entre 1 et 2. Je vous laisse découvrir l'algorithme simple (médianes de Farey) qui permet de passer de la représentation binaire du numéro de cercle à la fraction en abscisse. Voici plutôt le problème inverse, moins évident. J'utilise d’abord l'algorithme d'Euclide, pour résoudre ce problème qui consiste à trouver le numéro de cercle placé à 53/41. La suite ( 53/41 12/41 12/29 12/17 12/5 7/5 2/5 2/3 2/1 1/1 ) est obtenue en remplaçant le plus grand des entiers par la différence des deux. Si la fraction de départ est irréductible, donc de pgcd = 1, on arrive toujours à 1/1, et tout rationnel correspond ainsi à une suite unique : on peut parler d’un parcours en sens inverse, jusqu’à la racine, de l’arbre d'Euclide (défini par cette procédure). Ensuite, on remplace les ratios < 1 par 0 et les autres par 1. On obtient ainsi ( 1000110011 ). Avant d'aller plus loin, notons le lien avec la fraction continue de 53/41 = [1 3 2 2 1] (selon la notation particulière utilisée) : si on excepte le dernier 1, on a " les nombres de 1 et de 0 de la suite binaire ". Plaçons le dernier 1 au début, donc ( 1100011001 ), et voilà la représentation binaire de son rang = 793, c’est-à-dire le numéro du cercle placé à 53/41 dans un arbre plus grand, qui comprend tous les rationnels entre 0 et l'infini. C'est l'arbre de Stern-Brocot. Mais ici on ne considère que la branche comprise entre 1 et 2 : donc, on remplace le premier ( 110... ) , le rang de 3/2, par ( 1... ), et on obtient ( 10011001 ) = 153, le numéro du cercle placé à l’abscisse 53/41 dans notre problème. Je n'explique pas les détails de ce qui se passe à chaque bout, ni l'inversion Euclide/Stern-Brocot. On peut trouver ces " pourquoi " en s'amusant avec l'ensemble des matrices 2 x 2, d'entiers naturels, à déterminant = 1. Pour 2 cercles tangents en a/b et c/d on a ad - bc = 1. Or il existe deux matrices génératrices non commutatives (représentables par 0 et 1) qui permettent de générer sous forme d’arbre le monoïde de ces matrices. Et il y a correspondance biunivoque avec les arbres d'Euclide et de Stern-Brocot (en sommant puis divisant soit les colonnes, soit les lignes). |
