Extraits de messages

À Patrice Bailhache

Je suis très critique des relations de la science et de la musique depuis un siècle. Je prétends que la science a toujours été myope vis-à-vis la musique. Elle a laissé échapper les deux faits massifs sur lesquels repose tout le segment d'intelligibilité de la matière tonale.

L'acousticien est rivé à la matière sonore, incapable de distinguer ce qui la rend apte à signifier. Il n'a pas vu qu'il existe un seul invariant élémentaire à travers le canal sonore : le substrat temporel. En conséquence, seuls les intervalles de hauteur et de durée peuvent maintenir une structure algébrique, et jouer un rôle de repères de similitude au milieu de variations complexes. Les intervalles d'intensité, qui peuvent maintenir une structure d'ordre, et les invariants complexes du timbre jouent surtout leur rôle dans les autres segments d'intelligibilité.

Et le mathématicien, du haut du ciel des irrationnels, surcharge le nombre musical aussi bêtement, peut-être, que Pythagore avec des propriétés mystiques. Il n'a pas vu qu'entre la quinte pure et la quinte tempérée, il n'y avait pas seulement la distance de deux cents, mais la distance entre deux dimensions perceptives irréductibles. Il n'a pas remarqué la bidimensionalité de l'intervalle de hauteur.

J'ai simplement exploré avec acharnement, depuis 40 ans, un continent relationnel oublié. J'ai développé des théories axiomatiques solides sur la cohérence macrotonale (structure de chordoïde), la sélection microtonale (structure d'harmoïde) et la structuration modale (structure de gammier). Sur la base des deux seuls faits massifs évoqués je peux décrire la forme précise de ces gammes naturelles que le temps a retenues, chinoise, slendro, pelog, siamoise, rast, lydienne, japonaise, zarlinienne, blues... ou rendre compte du système indien classique, du GSP d'Aristoxène... ou montrer ce qui a permis le développement du langage tonal.

À Paul H. Erlich

J'ai failli annoncer au Just Intonation Network, en 1996, que je tenais en main une théorie générale des "microtons" qui rendait compte de la morphologie des gammes naturelles. Je croyais qu'il ne me restait que quelques fils à attacher. J'ai heureusement préférer pousser mon investigation jusqu'au bout avant de me lancer sur la place publique. Et j'ai dû me rendre compte, en développant la théorie des structures de chordoïde, harmoïde, gammoïde et gammier, que la structuration modale relève presqu'exclusivement de la macrotonalité. C'était en 1997.

Par la suite, j'ai tenté de comprendre, plus en profondeur, le lien des mathématiques et des sciences en général avec la musique. Et j'ai développé un esprit très critique face à cette espèce de noirceur qui marque, à mon avis, le XXe siècle. J'ai de la difficulté à comprendre que la science ait pu se développer de façon si prodigieuse et soit demeurée si aveugle face à la musique. J'insisterai sur cet aspect à un autre moment.

Arrivé en 2000, même si je n'ai encore accouché d'aucun texte majeur, je me sens en mesure d'éclairer bon nombre de situations.

Ainsi, ce qui manque le plus à la communauté microtonale, à mon avis, c'est moins de raffiner sa connaissance des propriétés microtonales (largeur, sonance, modalité...) que de découvrir les principes majeurs de la cohérence. Alors que la pensée tempérée et le sérialisme ont démontré l'impossibilité de construire un langage fort en oubliant la dimension des sonances, la pensée microtonale, à l'inverse, semble un peu perdue dans une structure numérique inframusicale.

De même que l'acousticien ne voit que de la rugosité quand il est question de dissonance, le microtonaliste risque de ne voir que de la dissonance là où il faudrait parler de discordance. La dissonance est une propriété qui s'applique à un intervalle pris isolément. La discordance est une propriété collective, qui n'a de sens que dans une structure englobante. Le moteur de l'harmonie classique était la discordance et non la dissonance comme on l'a toujours pensé. Bon, encore ici, ce n'est pas le moment de développer.

Si je reviens Stern-Brocot, je n'ai jamais appliqué de mathématiques toutes faites à la musique. J'ai exploré le continent des relations tonales et j'y ai découvert des structures. Et à partir de ces structures, j'ai élaboré la mathématique qui convient. Du point de vue microtonal c'est assez simple. Le premier pas à poser était de bien définir la sonance de l'intervalle a/b comme log(ab) (a/b doit être réduit, bien sûr). En dressant la carte (hauteur, sonance) des intervalles, c'est-à-dire (log(a/b), log(ab)), où j'ai pu approfondir certains principes d'harmonie, j'ai découvert cet arbre dont je n'ai appris le nom, qu'après en avoir démontré les principales propriétés. Ce n'est pas que je tienne tellement à tout faire moi-même, mais les mathématiciens consultés n'avaient pu me renseigner.

Pour finir, je veux montrer comment c'est simple du point de vue musical. On n'a pas besoin de ma définition de la sonance pour relier Stern-Brocot à la musique. Il suffit d'avoir un critère suffisant de comparaison des intervalles. Les trois principaux sont (ab), (a+b), sup(a,b). Ils sont très différents. Si on compare 7/2, 3/5 et 7/1, on a (14)(15)(7) pour (ab), (9)(8)(8) pour (a+b) et (7)(5)(7) pour sup(a,b). On voit qu'ils correspondent à un ordre total bien différent. Mais ils correspondent au même ordre partiel de Stern-Brocot, qui semble très près de celui de la perception effective.

Pour l'un ou l'autre de ces critères, partant de l'intervalle le plus consonant, 1/1, on cherche le plus consonant à gauche puis à droite. On obtient 1/2 et 2/1. Si on recommence pour 1/2, puis pour 2/1, en cherchant toujours le plus consonant dans l'intervalle à gauche, puis à droite, on désigne toujours le même intervalle 1/3, 3/2, 2/3, 3/1. Ainsi de suite, 1/4, 2/5, 3/5, 3/4, 4/3, 5/3, 5/2, 4/1... Évidemment ça correspond à la médiane de Farey pour l'intervalle considéré. S'il y a eu tant de discussions stériles sur l'ordre des sonances, c'est qu'on n'a pas su distinguer la question de l'ordre partiel perceptible de celle de l'ordre total le plus fécond.

J'arrête ici. Je suis présentement à reviser le formalisme de ma théorie des chordoïdes pour qu'elle soit plus abordable. C'est sans doute ma réussite mathématique la plus achevée. En pensant à découpler la macrotonalité de la microtonalité au niveau même de l'accord, j'ai pu concilier, à un niveau vraiment fondamental, ces aspects complémentaires que sont la cohérence (macrotonale) et la consonance (microtonale). Et j'ai mis au point quelques outils pour en permettre l'équilibre.

À Alexander Bogomolny

Depuis longtemps je vise à faire des liens entre le chaos et la musique. Dans un article sur le chaos dans la convection thermique de Rayleigh-Bénard, on montre qu'à l'approche du chaos, le couplage des deux oscillateurs se manifeste par l'apparition d'accrochages en fréquence pour des rapports f1/f2 formant un rapport simple p/q. Cette possibilité d'accrochage en fréquence est corrélée à la potentialité d'engendrer des régimes chaotiques. Et c'est au voisinage immédiat du palier d'accrochage que se situe le domaine chaotique. La dimension de corrélation varie rapidement près de ces accrochages et semble dessiner une espèce de cuvette autour de ces rapports.

Le rapprochement avec les courbes de Helmholtz au sujet de la dissonance, qui fait montre de semblables cuvettes, me saute aux yeux. Bien que je considère sa propre interprétation comme erronée, je les trouve remarquables. Helmholtz, comme tous les acousticiens, ne distingue pas vraiment la rugosité de la dissonance. Et la théorie actuelle des bandes critiques à l'intérieur de la cochlée est entachée de la même confusion.

La rugosité, sur l'axe des Y, varie avec le spectre harmonique. C'est une propriété acoustique. La position des cuvettes, sur l'axe des X, est un invariant. On peut en dire autant des pics de Plomp et Levelt, pour les bandes critiques. La rugosité renseigne (diversement selon le spectre) sur l'écart à partir du centre de la cuvette, mais nullement sur la position de la cuvette. La dissonance, du point de vue musical, est une information de hiérarchie pour les rapports les plus simples. On sait l'entrelacement rationnel de ces informations avec celles des positions, à travers l'arbre de Stern-Brocot.

À mon avis, la rugosité joue probablement un rôle dans l'établissement d'une carte interne de la condition de rationalité, mais je crois que certains types de relations mathématiques peuvent aussi jouer, à l'égard de nos réseaux neuronaux, le rôle d'une réalité tangible sur laquelle ils peuvent converger.

En mathématique, dans l'arbre de Stern-Brocot, l'irrationalité se trouve à l'infini. Dans la réalité, l'infini ça n'existe pas. Il y a toujours quelque part une limite où un modèle achoppe et on atteint la non-rationalité. Mais avec le chaos, on repère des frontières de transition et on traite (ou plutôt on commence à taiter ces situations). J'ai comme l'impression qu'il reste des outils importants à découvrir concernant la quasi-périodicité et les sous-harmoniques.

Bon je m'arrête ici. Dans ma figure de l'arbre de Stern-Brocot, on voit comme une transition entre le pôle rationnel et une coupe sur la route vers l'irrationnel. Vue d'en bas, il y a des points, les tons rationnels, puis de longs sous-arbres impertinents musicalement. Vue d'en haut, on voit des fenêtres (à rebord de cuvette) vers le rationnel. Je pense que ces deux images sont pertinentes musicalement. Le sensible correspond à la vue du haut, l'intelligible, à celle du bas. On oublie parfois, en musique, de tenir compte de cette double réalité.

À Yves Hellegouarch

Aussi justes soient-elles, les considérations acoustiques, en regard de la question des gammes, m'apparaissent piégeantes. Elles introduisent subrepticement une erreur de perspective. La place privilégiée qu'occupe la notion d'harmonique dans le son musical laisse croire à une semblable primauté au niveau des structures tonales. Et on confond généralement trois aspects de l'harmonicité, selon qu'elle a trait à la paramétrisation du son musical, à l'explicitation de la sonance des accords, ou à la génération des modes musicaux. Or l'harmonique n'occupe une place privilégiée que dans le son musical. Mais alors pour cause.

Pour qu'apparaisse l'intervalle de hauteur, à titre d'atome d'intelligibilité dans des processus d'évaluation de similitude formelle, il faut que les sons soient musicaux, autrement dit, qu'ils possèdent une périodicité principale marquée. Et c'est en raison seulement de cette périodicité qu'un tel son est analysable en terme d'harmoniques (et non de sous-harmoniques) de la fréquence principale.

Au plan de la sonance, les théories acoustiques de la dissonance, de l'alignement des harmoniques d'Helmholtz aux bandes critiques de Zwicker, privilégient aussi l'harmonique. Mais j'estime qu'elles sont foncièrement erronées, au sens où elles peuvent espérer rendre compte de la rugosité mais nullement de la dissonance. Enfin, au niveau macrotonal, que j'estime avoir adéquatement théorisé, autour des problématiques de la liaison de la cohérence à la consonance puis de l'émergence de la simplicité, rien ne peut plus permettre de privilégier le générateur harmonique en regard de son dual. Mieux, sans la dualité, la musique ne serait probablement que rythmique et peinture sonore.

À John Chalmers

Même si on utilise la notion d'intervalle pour traiter d'échelles musicales, on ne pense généralement pas en termes d'intervalle. Pour le musicien, l'intervalle est toujours bien près d'être exprimé concrètement sous forme de note. Et ça se comprend bien. Car sur le plan de l'expression, ce n'est pas sur l'intervalle qu'il doit agir, mais sur la note. Les nuances d'intensité et de tempo qui conditionnent principalement l'émotion, la présence, puis les ajustements fins de brillance, de phrasé, de découpage interprétatif, ou encore les accents rythmiques, la couleur sonore ... rien de tout cela n'est accessible via l'intervalle.

Lorsque j'utilise la notion d'intervalle, je suis bien conscient du degré élevé de réduction impliqué. C'est d'ailleurs pourquoi, en m'en tenant au rôle précis joué par l'intervalle dans la perception des similitudes formelles, je peux mieux décoller de la réalité concrète et penser librement en termes d'intervalle.

Alors, pour moi, les structures tonales comme les intervalles, ça n'existe pas dans la réalité sonore concrète. Ça se situe au niveau de l'entendement. Je dirais qu'elles sont projetées, à des degrés divers, et par le compositeur, et par l'interprète, et par l'auditeur selon sa qualité d'écoute. Ce sont des structures paradigmatiques qui doivent être co-reconnues instinctivement lors du décodage formel. C'est par elles qu'un sens formel précis est attribué à des syntagmes musicaux co-relatifs.

Je rappelle que je ne parle pas des notes, dont les fréquences existent bel et bien dans la réalité sonore. Si dans la musique tempérée il peut y avoir confusion entre les 12 notes utilisées (par octave) et les 12 intervalles possibles, à l'opposé, dans l'intonation juste, vous savez bien l'écart important qui existe entre l'ensemble des notes utilisées dans une oeuvre et l'ensemble des intervalles possibles entre chaque paire de note. Alors, ou bien on se place du point de vue de l'exécutant qui dispose d'un ensemble de notes, ou bien on regarde, du point de vue architectural, comment est attribué un ensemble bien struturé d'intervalles privilégiés au sein d'une oeuvre. Ces intervalles privilégiés, que je qualifie de concordants, coexistent nécessairement (en intonation juste) avec d'autres qui sont discordants. Ça m'apparaît analogue au contraste lumière / ombre en art visuel : à la couleur tonale déployée par le champ de consonance / dissonance s'ajoute le relief tonal déployé par le champ de concordance / discordance. (Attention, je distingue bien nettement la couleur sonore qui relève du timbre).

À John Chalmers

Je n'ai aucun doute que les musiciens perçoivent bien les intervalles et en traitent correctement. Ce que je veux faire, c'est simplement d'aller au bout de ce qu'implique l'idée d'intervalle, dont on constate l'omniprésence en musique. Je fais d'abord une remarque de vocabulaire et j'essaie de m'exprimer mieux là-dessus.

[Vocabulaire] Un ton, pour moi, est un intervalle compris entre l'unisson et l'octave supérieure, à titre de représentant de sa classe d'intervalle modulo 2. C'est non seulement relationnel mais ça implique aussi une relation de congruence. Et ce que ça relie, ce ne sont pas des notes mais encore des tons, de sorte que ma préoccupation est la structure de la loi de composition interne propre à un ensemble de tons. La projection vers les notes (les fréquences), qui correspond à celle de l'unisson sur une tonique (je précise algébrique car la notion musicale est parfois floue), passe au second plan.

[Essai] À mon avis, l'intervalle fait le pont entre le sensible et l'intelligible. L'acoustique nous dit que l'intervalle est le quotient (ou encore la différence des logarithmes) de deux fréquences, qui sont relativement bien corrélées aux sensations de hauteur. Mais cette paramétrisation de l'intervalle est insuffisante pour vraiment comprendre ce qu'est l'intervalle en musique. Elle laisse la plupart des scientifiques (physiciens et mathématiciens), qui s'en tiennent à cet aspect, loin du phénomène musical. Ils traitent sans vergogne l'intervalle comme s'il appartenait à un tissu relationnel infini, comme si ça relevait du sensible. J'appellerais ça la mise-à-plat du signifiant musical au niveau d'une concrétude du sonore où on ne distingue plus ce qui le rend apte à signifier.

Je crois que la saisie des intervalles, à travers la perception des formes harmoniques et mélodiques, au sens large, est en grande partie indicielle. C'est pourquoi un système musical ne choisit seulement qu'un tout petit nombre d'intervalles qui se combinent. Avec une bonne technologie on pourrait utiliser des transformations qui multiplieraient le nombre total de notes distintes dans une oeuvre, mais le nombre d'intervalles logiques sera toujours, à mon avis, très limité dans un discours clair, comme dans un langage fort.

Bon, je ne peux vraiment développer dans ce cadre. J'indique seulement quelques miettes un peu éparses de réflexion qui seront publiées si ce n'est déjà fait : Fétichisme du numérique et rationalité musicale, qui traite du type de rationalité exigée par la musique ; Sur l'intervalle de durée et la forme temporelle, où une distinction entre durée logique et durée réelle, à propos de la musique tzigane, me semble éclairante pour mieux comprendre l'intervalle de hauteur, en tant qu'il peut être à la fois mesuré et indiciel ; À propos de composition et d'intelligibilité, où par un exemple simplifié, j'essaie de montrer comment le sens musical premier, le sens formel, déployé sur l'axe syntagmatique, dépend d'une structure paradigmatique de l'ensemble des intervalles, dont par ailleurs, j'ai tenté d'exhiber la nature algébrique et même d'axiomatiser complètement.

Plusieurs autres textes font référence à cette question, mais je ne sais ni comment, ni même s'ils seront publiés. Alors j'en tire les citations qui suivent.

<< Si la matière sonore est porteuse de signification musicale, on doit bien s'attendre à un premier niveau d'articulation où une structure signifiante, pour inscrire et repérer des signes, a dû sélectionner des éléments stables, aisément discernables entre eux, qui portent signification par le biais de ce caractère abstrait premier qu'est la position du signifiant dans la structure, son rapport au tout. Dans cette optique, ce qui saute aux yeux, en surface, c'est le jeu restreint des hauteurs. On verra plus loin, dans l'examen du rapport entre la hauteur et l'intervalle, que seul le jeu des intervalles est structurable et de fait structuré.

Pour informer la matière sonore, la musique a besoin avant tout de structuration et ainsi l'intervalle précède logiquement la hauteur, qui suit en tant que moyen de réalisation. Autrement dit, si les musiciens produisent des sons dont la qualité première, la musicalité (par quoi ils se distinguent des bruits), est une certaine stabilité de la périodicité principale (par quoi ils sont perçus avec une hauteur assez bien définie) c'est afin que les rapports entre ces sons fassent apparaître les intervalles, ces éléments à la fois composables et riches de traits distinctifs dont les principaux sont la largeur, la sonance et la modalité. Or ce qu'on découvrira de vraiment remarquable c'est que ces structures d'intervalles musicalement pertinentes sont des structures algébriques. >>

<< En quel sens peut-on affirmer que le jeu des intervalles, et non celui des hauteurs, est structurable. Soient trois hauteurs, A3, A2 et A4, qui sont le LA international et ses octaves inférieure et supérieure : ces notes correspondent à des mesures de fréquence (en hertz) de 440, 220 et 880. En notant T la transformation qui fait passer de A2 à A3, on peut écrire par exemple T(A2) = A3 ou encore T(220) = 440. Peut-on dire que cette transformation correspond à une loi de composition interne dans le champ des hauteurs ?

Avec une addition, on aurait pour l'équation A2 + X = A3 une valeur X = 220 qui correspond à A2. C'est là une valeur interne. Mais la même transformation T fait passer de A3 à A4. Alors, on ne peut représenter T par cette "addition de X" car ça entraînerait, avec l'équation correspondante A3 + X = A4, la fausse égalité 440 + 220 = 880. Bon, on savait déjà qu'avec les fréquences il faut utiliser la multiplication. Et, effectivement, en remplaçant l'addition par la multiplication, (A2 × X = A3 et A3 × X = A4), on obtient une valeur X = 2 identique, car 220 × 2 = 440 et 440 × 2 = 880.

Le problème c'est que la valeur 2 ne représente manifestement pas une hauteur perceptible, une valeur interne. C'est un intervalle. Et la transformation T ne correspond donc pas à une loi de composition interne. Toutefois, en remplaçant les hauteurs en jeu par les intervalles qu'ils forment avec une hauteur fixe, une tonique au sens algébrique, on obtient un jeu d'intervalles qui obéit strictement aux mêmes équations mais, cette fois, la transformation T correspond à une opération interne.

Il faut insister. À l'encontre des hauteurs, les intervalles sont des éléments homogènes et composables. Pourquoi s'appesantir ici ? Dans la pratique, ne passe-t-on pas aisément des hauteurs aux intervalles, et vice versa, sans vraiment les confondre ? Sans doute. Malgré cela, derrière le concept musical de tonique, cette hauteur privilégiée chargée de nuances musicales variées, on discerne mal le reflet ou la projection d'un intervalle précis vraiment unique : l'unisson, qui joue au milieu du jeu des intervalles le rôle mathématique d'élément neutre.

Dire qu'un jeu d'intervalles possède une structure algébrique, c'est dire qu'on peut exprimer l'ensemble des relations entre tous les éléments en n'utilisant que des règles abstraites, des axiomes, de sorte que l'ensemble de ces relations, la structure, soit possiblement applicable, en bloc, à un autre jeu d'éléments, d'une toute autre nature. La structure s'abstrait de ses réalisations diverses. De telles structures diversement réalisées sont dites isomorphes. D'où la possibilité d'un relai semblable de l'intelligible musical au sensible sonore et vice versa. Ces propriétés sont absentes du jeu des hauteurs, bien que pour projeter une structure d'intervalles sur les hauteurs il suffise de multiplier tous les intervalles par une hauteur fixe, la tonique au sens structurel.

La mathématique, avec son énorme puissance de formalisation, pourrait permettre d'attribuer une structure au champ des hauteurs en intégrant la projection, mais il y aurait, pour la musique, dérive de sens. On perdrait de vue la double appréhension musicale des intervalles : largeur et sonance. >>