La liste des 22 tons

Au début des années 90, j'ai fouillé à la bibliothèque pour trouver des exemples de gammes anciennes. (Démarche plutôt rare, car les systèmes réels ne constituent pas un point de départ de ma recherche.) Je venais d'écrire Différentes gammes encore en usage et je voulais juste aller un peu plus loin. Concernant le système indien, je ne voyais que de gros bouquins farcis de références culturelles, musicologiques, cosmologiques... au sein desquels l'information que je recherchais se trouvait bien diluée. En tant que chercheur paramusical, ce fût une bénédiction de tomber sur le précis de Donald A. Lentz intitulé Tones and Intervals of Hindu Classical Music. Au premier coup d'oeil, j'ai pu voir que ce serait là le meilleur exemple historique pour illustrer ma théorie : car les gammes et le système englobant étaient rigoureusement distingués et explicités.

De cette source je retiens trois éléments : la liste des tons utilisés et de ses constituants élémentaires, appelés shrutis, quelques précisions sur la nomenclature, qui diffère entre le Sud et le Nord de l'Inde, puis la référence au cycle des quintes que présente l'auteur, mais à titre de comparaison seulement. C'est mince ? C'est amplement suffisant pour l'illustration en vue. Voyons d'abord la liste des tons dans l'ordre de leur largeur (ils sont aussi appelés shrutis, comme les constituants élémentaires, et on évitera le terme avant de préciser les définitions) :

Je veux d'abord signaler mon appréciation, d'un point de vue paramusical, pour la qualité du document source. Sans un degré de certitude suffisant au sujet du bien-fondé des éléments retenus, une discussion, comme celle qui va suivre, perdrait beaucoup de sa consistance. J'ai entrevu plus tard, en furetant sur la grande toile, que plusieurs auteurs avaient voulu corriger les valeurs traditionnelles de ce système pour mieux accomoder leurs conceptions. Ça m'a rappelé cette plaisanterie d'un égyptologue qu'on aurait surpris la nuit en train de limer un coin de la grande pyramide, afin que la base corresponde exactement à son calcul cosmologique. D'autres que moi, d'un point de vue musicologique, peuvent discuter les conceptions de l'auteur, mais il m'apparaît avoir fait montre, à la base, d'une rigueur qui fait parfois défaut. Dans ma collecte de gammes, j'ai vu, par exemple, le calcul d'un pelog moyen sur un ensemble de modes considérés comme distincts. Là aussi ça m'a rappelé une plaisanterie : avec un pied sur la glace et un pied dans le four, en moyenne on est bien. Avec de telles assises on aurait de quoi vasouiller longtemps.

Mise en évidence d'anomalies

Ce qui saute aux yeux, au départ, c'est l'évidence de singularités qui constituent, par constraste avec une symétrie autrement parfaite, de belles anomalies, dont par chance on va devoir rendre compte. La plus claire est l'absence du renversement de 27/20 dont la valeur 40/27 occuperait la place des ??? dans la liste. L'auteur indique (p. 13) que ce ratio de 680 cents existe bien mais qu'il est rarement utilisé. C'est pourquoi il ne l'a pas retenu. La seconde anomalie correspond à un faisceau serré d'indices.

Si on compare la nomenclature des tons entre le Sud et le Nord, on voit qu'elle diffère grandement pour les altérations, mais sans différer pour les degrés, mise-à-part l'anomalie à préciser. Les tons sont répartis en 7 classes distinctes ou degrés : Shadaja (Sa), Rishabha (Ri), Gandhara (Ga), Madhyama (Ma), Panchama (Pa), Dhaivata (Dha) et Nishada (Ni). Les tons d'une classe sont précisés par altération du ton de référence qui n'est pas altéré. C'est le choix de cette référence qui diffère principalement entre le Sud et le Nord, de sorte qu'une même désignation correspond souvent à des tons différents.

Il existe seulement deux cas d'ambiguïté de degré. Au Sud, le Nishada est parfois appelé Chyuta Shadaja. L'auteur précise : "This is seldom use". Mais entre le Sud et le Nord il existe une différence marquée concernant le triton. Il est Chyuta Panchama au Sud et Tivratara Madhyma au Nord. En clair c'est une quinte diminuée de 2 shrutis au Sud et une quarte augmentée de 3 shrutis au Nord. De plus, ça correspond à l'ambiguïté, mise en évidence dans la liste, entre 729/512 et 64/45. Ajoutons que dans le tableau général de l'auteur, il choisit à la fois 64/45 pour le ton, et 612 pour la valeur en cents, ce qui correspond plutôt à l'autre ton car celui retenu aurait dû correspondre normalement à ses 610 cents.

Pour compléter la caractérisation de ces anomalies, on va exhiber la génération possible des 22 tons par un cycle de quintes, tel que le montre l'auteur. Dans le tableau qui suit, j'utilise des valeurs où n'apparaît plus le facteur 2. C'est un système équivalent de représentants des classes d'intervalles que j'appelle pivots. On trouve un long cycle de quintes pures, sauf pour deux légers décrochages de 2 cents seulement.

Le pivot 729 mis pour le ton 729/512 et le pivot /45 mis pour 64/45 sont alignés car ils sont distants de seulement 2 cents (612-610). Même si on ne retrouve pas /729, on comprend qu'il y a là symétriquement le même décrochage de 2 cents. On peut voir également la position de 40/27, au tout début de la chaîne. Ainsi, son absence ne brise pas le cycle des quintes. Mais ceci ne justifie d'aucune façon son absence. Il en est de même de la présence incongrue de 729 sans même une contrepartie /729. Donnons-nous donc le défi, avant de débuter cette illustration des gammiers, de rendre compte pleinement de ces anomalies, qu'il serait difficile, je pense, de vaiment justifier, du moins avec élégance, sans le recours aux outils descriptifs simples (une fois la théorie assimilée) qui dérivent des gammiers.

Avant de s'engager dans la voie algébrique, je me permets une analogie concernant le type d'information structurelle contenu dans la connectivité de quinte ainsi exhibée. Il y a un monde entre connaître la longue séquence des acides aminés d'une protéine et les propriétés de cette protéine. C'est seulement par la connaissance des repliements dans l'espace tridimensionnel qu'on peut prévoir des propriétés biologiques qui ne se laissent pas deviner à partir de la seule séquence. Ce que la théorie des gammiers peut aisément exhiber, c'est la structure complète (analogue aux repliements dans l'espace) de la composabilité interne dans ces 22 tons.

Les gammiers pythagoriciens P5 et P6

Comme il ne s'agit pas ici d'une étude qui a pour but d'exposer clairement la théorie, mais d'une simple illustration de sa pertinence, à travers ses outils, on va d'abord examiner un premier exemple d'application des gammiers. La suite P5 = /243 à 243, en haut du tableau du cycle des quintes, et celle qu'on aurait, P6 = /729 à 729, si on ajoutait le symétrique de l'incongru 729, ces deux suites, dis-je, sont des ensembles tonaux munis de la structure de gammier.Tous les cycles de quintes compacts inversibles Pn (où n est le plus grand exposant de 3) sont également, à partir de P3, des gammiers. Un gammier, au premier abord, c'est un entrelacement de gammes. Parmi les gammiers de l'ensemble des Pn, seulement P5 et P6 contiennent la gamme de Pythagore. Plus bas, dans P3 et P4, les gammes ont 5 degrés seulement (dont la gamme chinoise de Ling Lun dans P4). Au-dessus, les gammes ont d'abord 12 degrés de P7 à P11, puis 17, etc. On ne s'étendra pas ici, car la pertinence musicale des structures complexes est plutôt faible. On verra plus loin de quelle façon précise une gamme appartient à un gammier.

Tout gammier est associé à une matrice harmonique (analogue au diamant de Partch) qui génère à la fois, tous ses éléments et seulement ses éléments, mais encore plus précisément, tous les triplets (a,b,c) de sa loi de composition interne et seulement ceux-ci. Parmi les générateurs équivalents du même gammier (il s'agit de suites de nombre impairs appelés harmoniques dans un sens très large), l'un d'eux est minimal. C'est ce générateur qui permet d'ordonner l'ensemble des gammiers. Dans P5 et P6, le générateur minimal est d'ordre 5 et les modes inclus ont 7 degrés. Si le générateur minimal était d'ordre 7, ce ne serait plus un gammier mais un gammoïde. Le dernier axiome de la théorie des gammiers, l'axiome de fertilité, exige que le nombre de degrés des gammes soit supérieur au nombre d'harmoniques génératrices. Pour illustrer P6, à présent, on va se servir d'un générateur équivalent : le générateur chromatique à 7 degrés. Ce nom provient de la propriété du graphe d'accordance associé à la matrice de pouvoir être colorié avec 7 couleurs seulement (dans le cas de P5 et P6), sans que deux noeuds de même couleur soient contigus. La matrice chromatique coloriée forme alors un carré latin de couleurs. Le générateur chromatique bien ordonné de P6 est ( 1 9 81 729 3 27 243 ). Voici le gammier P6 avec tous ses éléments et la connectivité de sa loi de composition interne totalement et uniquement définie sur les axes horizontaux et verticaux de la matrice.

Ceci implique, avec la bonne mise en ordre du générateur (et l'insertion éventuelle de places vides), qu'il est toujours possible d'aligner les diagonales de la matrice pour que ça corresponde à la partition en degrés. À droite de la diagonale de l'unisson (1), on trouve, mise en évidence ici par le fond coloré, la diagonale des tons premiers. Sans entrer dans les détails de ce qui se passe quand les nombres de degrés et d'harmoniques diffèrent, une matrice de gammoïde est refermable comme un tore (la surface d'une chambre à air). Après la dernière colonne, vient la première. Il en va de même pour les lignes. De sorte qu'ici, le ton premier au bas de la première colonne fait partie de la diagonale. Il s'agit d'un cercle fermé sur le tore. Alors les tons, dans les diagonales qui suivent, sont composés successivement de 2, 3, 4, 5 et 6 tons premiers. On les dénomment, en ajoutant 1, selon la tradition, tierces, quartes, quintes, sixtes et septièmes. La suite des degrés (0 ... 6) correspond aux (I ... VII) usuels. Lorsque cette partition s'avère possible, elle est unique (si on exige que 1 soit seul dans sa classe) et elle est propre à l'ensemble de ces tons considérés comme un tout. On peut lire dans les diagonales que la partition propre à P6 est celle-ci :

On doit ajouter une remarque mathématique importante. Le premier axiome sur lequel repose toute la théorie, et qui est tout à fait indépendant du choix des musiciens, est l'axiome de simplicité à droite. On peut l'exprimer en langage mathématique, entre autre, comme ceci : ( ak = ak' implique k = k' ). Cet axiome a comme conséquence immédiate que la loi de composition interne binaire partielle sur un ensemble est équivalente à la donnée de la relation d'accordance entre les éléments, c'est-à-dire de l'ensemble des solutions (uniques de par l'axiome) des équations linéaires de la forme ax = b. Ce qui veut dire, à notre niveau, au terme d'un certain développement, que la table circonscrit toute la loi de composition (et seulement elle) dans l'accordance des éléments de même colonne ou de même ligne. Pour préciser davantage il faut mettre l'accent sur la notion mathématique d'accord, mais je souligne d'abord le point où on en est : dans la matrice harmonique, il existe toujours un ton de la matrice, entre chacun des tons d'une même ligne ou d'une même colonne.

Pour en revenir à la matrice harmonique, chacune des lignes et chacune des colonnes forment un accord dans la structure. Qui plus est, ce sont des accords équigénératifs de cette structure, réductibles à une suite d'harmoniques (ou de sous-harmoniques, en toute dualité) équivalente au générateur utilisé. Insistons. Chacun de ces accords génère strictement la même structure. Ceci résulte du théorème des accords qui concerne les 3 seuls axiomes indépendants du choix des musiciens. Il suggère tout naturellement un axiome de chordicité qui constitue le fondement de la cohérence lorsque la fermeture algébrique s'avère impossible. Il en découle, de façon immédiate, l'existence de l'élément neutre et des inverses qui constituent des axiomes explicites dans la structure de groupe. Tous les triplets (a,b,c) de la structure de composition, qui correspondent aux valeurs possibles pour ab = c, sont contenus dans l'accordance de ces accords, lignes ou colonnes. Ce qu'il y a de plus, lorsque la matrice est chromatique, c'est qu'il n'existe pas de répliques possibles par accordement de tons qui ne sont pas alignés dans un sens horizontal ou vertical. C'est pourquoi le nombre chromatique est égal à l'ordre du générateur et qu'il est possible de former un carré latin de couleurs.

Pour éviter d'alourdir, je laisse de côté les autres axiomes qui sont ici respectés. On va seulement mettre en évidence les gammes contenues dans P6 en présentant sous forme vectorielle, son treillis de factorisation. Il faut faire attention de ne pas prendre ce treillis pour une représentation complète du gammier. Il n'en montre que le lien de contiguïté des tons premiers, mais de telle sorte que les gammes soient bien visibles. Chacun des parcours conjoints unidirectionnels entre 1 et 2 constitue une gamme. Voici la représentation dite vectorielle de P6 où la gamme de Pythagore a été mise en évidence.

Versions tempérées de gammiers

Le choix de P6 et de la gamme de Pythagore, comme exemple préalable de gammier, n'est pas fortuit. Il vise à illustrer, plus loin, comment une toute petite différence tempérée peut s'avérer un grand écart macrotonal. C'est précisément le cas entre le système Indien et P6. Pour cela, il faut voir à présent des versions tempérées de gammiers, les t-gammiers. En remplaçant les valeurs du générateur harmonique de P6 par leurs équivalents dans le tempérament 1200 (c'est-à-dire leurs valeurs en cents, arrondies à un cent près), on obtient le t-gammier 1200t-P6 isomorphe à P6. Dans le diagramme précédent les abcisses correspondent exactement aux largeurs de tons. Toutes les petites corrections (de moins d'un cent), qui sont introduites par ces valeurs arrondies, sont coordonnées entre elles de telle sorte, que les parallèles du treillis demeurent strictement parallèles. Voici la matrice t-harmonique de ce t-gammier dont il suffit de remplacer les valeurs dans le diagramme précédent (qui a bougé globalement de moins d'un cent) pour obtenir le jeu d'intonation en cents correpondant à ses gammes.

La structure algébrique n'est cependant pas toujours conservée par une telle transformation. Ici, elle l'était. Mais si on avait choisi le tempérament 12, les valeurs 598 et 612 auraient été confondues. Les deux correspondent à 6 dans le tempérament 12. Le problème, au niveau algébrique, c'est que des degrés distincts, comme ici 3 et 4, ne peuvent contenir (par définition d'une partition) un ton commun. Quand deux tons d'un même degré sont confondus, par exemple 10/9 et 9/8 de degré 1 dans Zarlino, la structure est affectée mais elle demeure une t-structure comparable. Alors qu'ici, il n'y a plus de partition diatonique possible en degrés. Bref, le présumé 12t-P6 n'est pas un t-gammier.

Par contre, la version tempérée à 12 de P5, qui contient aussi la gamme de Pythagore, est un t-gammier. On va présenter ici son treillis de factorisation qui permet d'exhiber les gammes contenues. Comme on connait la source rationnelle de ce t-gammier, on pourrait le représenter vectoriellement comme je viens d'indiquer. Et encore une fois, la coordination des corrections ferait en sorte que le parallélisme de la figure serait conservé. Mais, strictement parlant, des valeurs tempérées ne contiennent plus l'information qui permet une représentation vectorielle. L'ordonnée, dans cette représentation, dépend de l'exposant du facteur 2. Or on ne peut absolument pas remonter d'une information tempérée à une information rationnelle, par une simple analyse microtonale, c'est-à-dire en considérant, un à un, quel est le ton rationnel le plus approprié à telle valeur tempérée. Ça exige une analyse macrotonale en profondeur, où l'on peut partir d'une certaine plage de valeurs obtenues, une à une, mais où il faut considérer ensuite les diverses combinaisons qui correspondent à des structures algébriques cohérentes. De plus il n'y a pas une structure optimale à trouver. On doit pondérer deux critères concurrents : celui de proximité acoustique (largeur) et celui du rang des harmoniques (sonance). Voici une représentation symétrique de 12t-P5.

On trouve 9 gammes tempérées dans ce t-gammier. (Je note un détail technique pour le calcul rapide du nombre de modes dans de telles structures. On indice le premier noeud à 1, puis les suivants, en additionant les indices des noeuds connectés qui le précèdent. L'indice du dernier noeud correspond au nombre de modes.) Tous les modes d'une même structure ne sont pas équivalents, et ce à plusieurs points de vue. Je note seulement ici l'aspect de la transposabilité : le cas où une transformation modale équivaut à une translation tonale. Ainsi le mode 1222221 n'est pas transposable. Mais le mode majeur 2212221 est susceptible de 5 transpositions internes bien connues. Un peu partout, historiquement, on a beaucoup utilisé le changement de tonique pour générer de nouveaux modes. Le recours au treillis de factorisation permet de comprendre, à la fois, le bien-fondé de cette pratique, et sa limite. La simple rotation ne permet pas de voir aussi clairement pourquoi les deux autres possibilités, les présumés t-lydien 2221221 et t-locrien 1221222 sortent du cadre de la structure de départ. Ça n'implique pas ici que le mode lydien, par exemple, assez usuel, ne convienne pas à t12 sur la base de ses valeurs d'intonation, mais que la structure algébrique qui le sous-tend ne peut être explicitée sous ce tempérament.

D'un système à l'autre

L'hypothèse qui sous-tend ce travail , dont je ne fais pas la démonstration mais la suggestion à travers une illustration, est que la pérennité des systèmes musicaux ne repose pas sur une simple accoutumance de l'oreille, comme le prétend une opinion répandue, du moins sous la forme restreinte d'une habituation à quelques intervalles pris isolément. Un confinement susceptible de circonscrire , pour une longue période, une riche et savante créativité musicale doit offrir davantage que de simples repères analogues à des trous creusés à la longue dans la chaussée. Le propre de la création est justement de s'affranchir des limites. Elle ne peut s'allier à un fond résistant, pour un temps, que dans la mesure où ça lui permet de prendre son envol. Ce sont les qualités interdépendantes des tons retenus, leur cohérence propre, si on les prend comme un tout, qui peuvent empêcher un système de dériver lentement, par degrés, sous l'action d'une activité exploratoire dont on peut difficilement présumer la mise en défaut.

Définition universelle du shruti

Dans un gammoïde, où l'ensemble des tons est partitionné en degrés, de par l'axiome de congruité, on peut former deux types de micro-intervalles qui permettent d'exprimer aisément les propriétés structurelles liées à la congruité. Il s'agit du shruti tonal et des shrutis modaux. On va plonger à fond ici dans ces notions universelles avant de les comparer à leur équivalent du système indien. La notion de shruti étant primordiale dans ce système, j'entends bien porter une attention particulière aux définitions pour mettre en évidence le caractère non fortuit de la logique interne des 22 tons que les indiens appellent shrutis.

Le plus petit ton d'un gammoïde G est forcément un ton premier et c'est aussi, par définition, son unique shruti tonal. Soit TP le générateur tonal ( l'ensemble des tons premiers) de G. La matrice TP\TP des micro-intervalles possibles est appelée la matrice shrutale S qui comprend, outre l'unisson, tous les shrutis modaux premiers et composés. La relation « x = y mod S » est une relation d'équivalence dans le gammoïde G. Par abus de langage, la matrice et la relation d'équivalence sont désignés par S. (On écrit aussi modulo 12 par abus de langage.) Que veut dire précisément « x et y sont équivalents modulo S » (ou en clair, que x et y sont du même degré) ? Simplement qu'il existe k dans S tel que xk = y. Le quotient du gammoïde G par la relation d'équivalence S, le gammoïde-quotient G/S, constitue l'ensemble des classes de tons. On observe de façon quasi universelle que les tons d'une même classe modulo S portent tous le même nom. Dans le système indien ce sont : Sa, Ri, Ga, Ma, Pa, Dha, Ni.

C'est que la relation S est non seulement une relation d'équivalence, mais une relation de congruence, qui entraîne un épimorphisme l de G sur Z/n (dont le noyau est l'unisson) : ça implique la relation d'égalité l(xy) = l(x) + l(y). Cet épimorphisme est décomposable en un épimorphisme canonique du gammoïde G sur G/S suivi d'un isomorphisme de G/S sur Z/n où n est le nombre des classes. On peut ainsi les désigner simplement par leur degré. On ne saurait trop insister sur ce point, car c'est là qu'on doit chercher la raison des choix inconscients qui structurent les tons musicaux de manière si cohérente : les degrés forment un groupe cyclique pour la composition. Pourquoi les musiciens se sont-ils ingéniés à qualifier les tons de juste, mineur, majeur, diminué, augmenté, etc. sinon pour respecter un jeu cohérent de degrés, sinon pour protéger d'abord cette structure fondamentale de l'esprit humain ? On a bien remarqué, au cours du siècle dernier, et on s'y est accroché, le groupe Z/12 du tempérament égal, qui ne constituait au départ à peu près qu'un cadre pour la modulation tonale, mais on a pas remarqué, au mérite, le groupe Z/7 qui est beaucoup plus fondamental sur le plan structurel pour rendre compte de la musique tonale.

En ordonnant le générateur TP = (t1 t2 t3 t4 ...), alors la diagonale (t2/t1 t3/t2 t4/t3 ...) forme l'ensemble des shrutis modaux premiers. Par convention on va les désigner simplement par shrutis modaux et distinguer les autres par shrutis composés. Les shrutis modaux premiers et composés sont des intervalles intra-classes qui ne séparent que des tons d'une même classe. Le shruti tonal sépare toujours des tons de deux classes successives. Il existe aussi, bien sûr, des shrutis inter-classes mixtes, formé d'un shruti tonal et d'un shruti modal, entre deux tons quelconque de classes successives. On verra plus loin comment se construit le treillis de factorisation shrutal, qui ne contient idéalement que des arêtes ayant un seul shruti modal ou tonal, puis qu'il y a toujours, au moins, une anomalie qui oblige à combler par un un tel shruti mixte.

Voici quelques exemples qui montrent le caractère universel du shruti. Une famille de gammoïdes est l'ensemble des gammoïdes ayant le même générateur tonal. Ceux des familles Zarlino, Pythagore et (minimale du genre) Slendro sont respectivement (16/15 10/9 9/8), (256/243 9/8) et (7/6 8/7 9/8). Voici leurs matrices S qui montrent leurs shrutis modaux et leurs composés. Le shruti tonal a aussi été distingué par le fond coloré à l'intérieur du générateur tonal.

L'ensemble ordonné des shrutis modaux, suivis du shruti tonal, forme la base shrutale canonique dans un gammoïde. L'usage du terme base signifie ici qu'il ne s'agit pas d'un simple générateur, mais que tout ton du gammoïde est représentable dans cette base par un vecteur unique de coordonnées positives entières. Le nombre d'éléments de cette base est égal à celui de la base des nombres premiers utilisés et il existe une matrice inversible qui permet de passer de la base shrutale à cette base primale (et vice versa). Ces vecteurs de coordonnées seront représentés ici par des notations horizontales : (x, y, z, ...) ou la matrice (x y z ...)^t avec un exposant tau pour indiquer la transposition verticale à opérer. Les bases shrutales des familles considérées sont alors : pour Zarlino <81/80 25/24 16/15>, pour Pythagore <2187/2048 256/243> et pour Slendro <64/63 49/48 9/8>. Si <a/b c/d e/f ...> est une base shrutale, le ton t du gammoïde qui correspond au vecteur de coordonnées (x y z ...)^t est :

t = <a/b c/d e/f ...> (x y z ...)^t = (a/b)^x (c/d)^y (e/f)^z ...

D'où, si on se place dans un continuum additif avec A = log (a/b), B = log (c/d) et C = log (e/f), (exprimés dans un tempérament quelconque, y compris 2, ou encore 1200 pour une valeur en cents), la valeur de log (t) est donnée par :

log (t) = [A B C ...](x y z ...)^t = Ax + By + Cz ...

Pour ceux qui s'intéressent à l'ancien système classique d'un point de vue musicologique, ils ne devraient plus ignorer l'existence de la cohérence algébrique hautement sophistiquée qu'il renferme. Peut-être pourraient-ils en tenir compte dans la comparaison des ragas. En distinguant par exemple, à côté de ceux qui correspondent tels quels à des modes, les défectifs, ceux qui sautent des degrés (et pourquoi ?), puis ceux qui ont plus de 7 degrés, qui utilisent plus d'une voie, (et pourquoi et comment ils sont utilisés ?).