J'apprécierais si quelqu'un pouvait me donner un conseil face à ce problème et m'indiquer un moyen simple (de composer un texte semblable) qui n'impliquerait pas de déboursé. [plamothe@aei.ca]

accord, intervalles et faisceaux

Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne binaire partielle. On appelle accord ( au sens mathématique, lequel correspond à l'aspect macrotonal ) une partie A de E qui possède la propriété suivante : pour tout couple (a, b) de l'ensemble produit A´A, l’équation ax = b possède une et une seule solution dans E. Une solution unique de ax = b est notée a\b et appelée intervalle entre a et b. L’espace des solutions, noté A\A, est la partie F de E qui correspond à l’ensemble des intervalles générés par A. On appelle faisceaux convergents et divergents, les parties de A\A qui ont soit même source, soit même but dans A. On les note respectivement k\A et A\k. où k désigne un élément quelconque de A.

La possibilité de doter E d’une certaine cohérence algébrique malgré une fermeture partielle est indiquée par le théorème des accords, qui concerne les axiomes suivants :

(Ces trois axiomes englobent tout ce qui ne relève pas d'un choix de la part du musicien.) Il résulte de la combinaison de ces axiomes que les faisceaux, dans la partie générée F, sont eux-mêmes des accords, et que ces accords sont en plus des générateurs internes de F. Plus précisément,

où sont distingués l’équipollence (~) et l’équigénérativité (»). (cf. Appendice)

On peut dès lors présumer d’un enrichissement de structure si on ajoute un axiome qui requiert l’existence d’un générateur interne :

A4 chordicité large

($A Ì  E)   E  = A\A.

Et effectivement, dans la structure munie des quatre axiomes A1 A2 A3 A4, appelée chordoïde large, on démontre l’existence d’un élément neutre et l’existence de tous les inverses, lesquels constituent, comme on le sait, deux axiomes explicites de la théorie des groupes. Le chordoïde large apparaît ainsi, de façon imagée, comme un "groupe abélien semi-fermé".

On peut disposer les intervalles d’un chordoïde large fini sous forme d’un tableau carré, appelé matrice chordique, dans lequel chacune des lignes et chacune des colonnes correspond à un accord générateur des éléments de ce chordoïde large. Un accord-ligne et un accord-colonne de même rang sont formés des inverses des éléments de l’autre et sont appelés pour cette raison accords duals.

Même si un accord donné A correspond à une matrice chordique unique, plusieurs lois de composition partielle, et ainsi plusieurs chordoïdes larges, sont généralement compatibles avec l’accordance impliquée par cette génération spécifique. Incidemment, l’axiome A1 implique que la relation d’accordance dans E détermine sa loi de composition. Parmi toutes les lois compatibles, l’une d’elles correspond strictement à l’accordance nécessitée par A, c'est-à-dire l'accordance de tous les accords équipollents à A et leurs duals (ce qui n'inclut pas, généralement, tous les accords équigénératifs). On l'appelle loi d'accordance de A. Un chordoïde est un chordoïde large dont la loi de composition est strictement la loi d'accordance d'un accord donné. À la structure de chordoïde correspond une fermeture chordique plus spécifique appelée simplement chordicité. Elle implique la genèse, par un accord, non seulement de tous ses éléments, mais de toute sa loi de composition.

Tout chordoïde large qui n’est pas lui-même un chordoïde est décomposable en chordoïdes distincts (qui impliquent des matrices chordiques distinctes). Ce type de décomposition concerne ce qu’on peut appeller l’accordance périphérique, définie en gros comme la relation d’accordance à l’exclusion des liens avec l’élément neutre. (Voici la forme du graphe d'adjacence périphérique non-dégénéré d'une matrice 5´5. Le graphe d'accordance comprend des valeurs non seulement pour les noeuds, mais aussi pour les arêtes).

Tout chordoïde fini, et ainsi tout groupe abélien fini, est décomposable en chordoïdes élémentaires appartenant à 6 classes d’isomorphie. L'une construit des groupes du type 4-groupe de Klein. Les 5 autres classes peuvent être représentées par l’unique chordoïde possible qui possède un générateur de 3 éléments et une loi d’addition modulo n, où n varie de 3 à 7. Les sous-chordoïdes d’un groupe abélien sont, parmi les combinaisons de ses sous-chordoïdes élémentaires, celles qu'on peut strictement générer, tant les éléments que l’accordance, à l’aide d’une seule, mais pas forcément unique, matrice chordique. Les autres combinaisons ne sont que des chordoïdes larges.

’

relation d’accordance

//  propriété dans E´E définie par le graphe :

{a’b |  ($!k) ak = b}

a’b

" a est accordé à b "

" il existe un intervalle entre a et b "

" l’équation ax = b possède une et une seule solution "

($k) ak = b  Ù  ("c) ac = b  Þ  c = k

a\b

intervalle entre a et b

solution unique de l’équation ax = b

//  on a toujours  a(a\b) = b

A’B

" la partie A est accordée à la partie B "

("a ÎA)("b ÎB) a’b

A\B

bloc d'intervalles généré par l’accordance de A à B

{a\b |  a ÎA, b ÎB}

A’A

" A est un accord "

" les éléments de A sont accordés entre eux "

" il existe un intervalle associé à tout couple de A´A "

("a,b ÎA) a’b

A\A

bloc d'intervalles généré par l’accord A

bloc accordé par A

//  A est un générateur de la partie A\A

{a\b |  a,b ÎA}

A » B

" A est équigénératif à B "

A\A = B\B

A ~ B

" A est équipollent à B "

$ f : A ® B  bijective tel que

 f(a)\ f(b) = a\b  ("a,b ÎA)

//  il existe au moins une façon de superposer les éléments de A et B de telle sorte que tous les intervalles générés coïncident

k\A

faisceau divergent généré par A

//  partie d'un bloc accordé par A pouvant avoir l'élément k de A pour source

A\k

faisceau convergent généré par A

//  partie d'un bloc accordé par A pouvant avoir l'élément k de A pour but

F(A)

ensemble des faisceaux générés par A

{k\A, A\k | k ÎA}

//  sous-ensemble des parties de E correspondant aux faisceaux générés par A

//  F(A) Ì P(E)

A1  Þ

 A1 A2  Þ

A2  Þ

A2 A3  Þ

un élément neutre

et tous les inverses