Pourquoi les gammes naturelles ne sont-elles pas symétriques ?

Lorsque j'ai aperçu, la première fois, les valeurs numériques d'une gamme — c'était la gamme de Zarlino — je me suis demandé pourquoi il n'y avait pas de symétrie. J'ai aussitôt tenté de construire, intuitivement, une orbite de possibilités et j'ai dessiné un treillis symétrique où la gamme de Zarlino n'était qu'une des 16 possibilités. J'avais découvert mon premier gammier. Voici une représentation, dite vectorielle, de la gamme de Zarlino dans son gammier minimal.

Du coup, j'ai acquis l'intime conviction que cet objet méritait une étude approfondie. J'ai compris plus tard que le constat d'une brisure de symétrie conduisait, de façon générale, à la recherche d'une loi qui s'y cache. Mais je me contentais de supposer, à ce moment, que la rationalité était en cause et je cherchais seulement à construire d'autres gammiers. Est-ce que j'ai réussi, depuis, à répondre adéquatement à la question posée ? Oui, mais cette réponse a exigé un détour de plus de 40 ans.

D'abord il faut comprendre que la brisure évoquée n'est significative que dans la mesure où elle est universelle et non fortuite. Or il existe deux exceptions notoires parmi les gammes naturelles : les gammes à 5 ou 7 degrés égaux. (Qu'il soit clair que la gamme par tons de Debussy, qui n'a pas traversé les millénaires, n'est en rien concernée.) Il faut alors montrer que l'apparente équitonalité des gammes slendro T5 et siamoise T7 est un cas particulier d'approximabilité des degrés par un tempérament égal. Une théorie mathématique, que j'ai achevée ces dernières années, la théorie des gammiers, a permis de mettre ce qui suit en évidence. Parmi la myriade ordonnée des gammiers possibles, on observe que le gammier 2 justifie pleinement la gamme slendro, que le gammier 4 justifie la gamme siamoise, et qu'aucun autre gammier de rang peu élevé, n'est passablement équitonal. Incidemment, le gammier de Zarlino, illustré plus haut, est le gammier 9. Voici une représentation du numéro 2, le gammier slendro, qui exhibe clairement son approximabilité par le tempérament 5.

On ne peut évidemment faire, en une page, le parcours que nécessite une réponse complète à la question de l'asymétrie des gammes naturelles. On doit se contenter ici de l'étape finale et combler par l'intuition l'absence des définitions. Lorsqu'on a compris que la structure de gammier modélise adéquatement la morphologie des gammes naturelles, on peut repérer clairement la loi qui brise la symétrie d'équipartition des tons. Les axiomes de structuration modale (régularité, contiguïté, congruité et fertilité), qui s'appliquent à un chordoïde, impliquent qu'il soit muni d'une structure d'ordre partiel compatible avec la factorisation. Ces considérations sont de nature macrotonale. Or c'est précisément à cette étape que se réalise normalement l'accouplement à la microtonalité. En posant la rationalité des tons, qui est l'unique contribution microtonale, on introduit l'ordre habituel des rationnels, qui apparaît comme partiel par l'absence de fermeture. Mais du point de vue macrotonal, on peut tout aussi bien introduire cet ordre partiel à partir d'une loi d'addition modulo n, autrement dit en utilisant des tons tempérés. On impose l'ordre usuel total sur l'accord générateur et on se restreint à l'ordre partiel qui en découle pour le chordoïde. On peut alors appliquer en parallèle les axiomes de structuration modale et confronter les gammiers, de tons rationnels, avec les t-gammiers, de tons tempérés, qui se partagent en deux classes. On retrouve ainsi des structures tempérées asymétriques simples, la classe des a-gammiers, qui sont l'image, acoustiquement proche, et structurellement exacte, de gammiers. Et ceux-ci ne doivent pas leur cohérence à une propriété microtonale, comme la sonance (qui fait qu'un ton est plus ou moins consonant), mais à la structrure de treillis résultant de l'ordre partiel.

Par contre, on retrouve beaucoup de t-gammiers qui possèdent des gammes parfaitement symétriques, c'est la classe des s-gammiers. Ceux-ci ont la propriété de posséder un sous-groupe. Ils obéissent aux mêmes règles de formation que les autres, mais on peut observer que le temps n'en a cure. On peut ainsi conclure, après s'être assuré que la théorie des gammiers rend compte de la forme des gammes naturelles, et que la structuration modale n'a pas à voir fondamentalement avec la microtonalité, que les choix inconscients, qui assurent la pérennité des gammes naturelles, effectuent cette sélection exclusive de l'asymétrie, en raison d'une rationalité sous-jacente, souvent cachée, qui permet un jeu adéquat des sonances.

Ceci constitue un argument de poids en faveur de la reconnaissance de la sonance comme propriété consistante des intervalles au même titre que celle de largeur. D'ailleurs la sonance et la largeur se définissent de manière réciproque. Pour un ratio irréductible a/b, la sonance correspond à log (ab) et la largeur à log (a/b). Alors, si on dresse la carte des premiers tons rationnels en disposant la largeur en abcisse et la sonance en ordonnée, on peut observer des propriétés musicales intéressantes. J'ai noté, dans la figure ci-contre, les tons de Zarlino et de la gamme blues. Par ailleurs, on y trouve que deux familles de droites parallèles qui relient beaucoup de tons. L'une correspond à l'harmonie majeure (des suites d'harmoniques) et l'autre à une harmonie duale (des suites de sous-harmoniques).

Mais la plus importante est celle-ci : en partant du ton le plus consonant, et en reliant de proche en proche, au plus consonant à gauche puis au plus consonant à droite, on constitue une structure appelée arbre de Stern-Brocot (en fait il ne s'agit ici que de la portion du premier octave). On connait plusieurs structures apparentées à celle-ci, dont les cercles de Ford, et surtout un monoïde de matrices modulaires dont l'addition des colonnes engendre l'arbre de Stern-Brocot, et l'addition des lignes, l'arbre d'Euclide. Ce dernier concrétise le célèbre algorithme du même nom.

Ce qu'il faut bien remarquer pour terminer, c'est que les deux structures d'ordre perceptibles (jusqu'à une certaine limite) et apparemment hétérogènes, des sonances et des largeurs, sont parfaitement entrelacées et s'avèrent ainsi d'une profonde rationalité. L'intelligibilité tonale, qui concerne la perception élaborée des similitudes formelles dans des oeuvres fourmillantes de figures en transformation, ne peut que reposer sur des structures paradigmatiques simples, elles-mêmes appuyées sur un fond résistant marqué au coin de la plus parfaite rationalité. Si la pensée tempérée n'a pas réussi à construire un langage fort, c'est qu'elle n'a jamais pu mettre en forme que la projection sur l'axe des largeurs de cette birationalité perceptible. Le poids de la représentation tronquée, associée au tempérament égal, a fini par faire oublier les acquis du contrepoint. Si on se réfère à son élément constructif, que j'appelle le carré contrapuntique, on formulait bien les règles pour ces quatre intervalles en tant que deux sonances successives et deux largeurs superposées.