Aux membres du Just Intonation Network

Ce texte dépassé et défectueux écrit en 1996 n'est utile qu'à des fins de comparaison.

Il n'a pas été publié. Il annonce, par anticipation, une théorie qui ne sera achevée que deux ans plus tard. Il présume faussement qu'elle sera microtonale, c'est pourquoi il est dédié aux microtonalistes. Il cache ce sur quoi elle reposait alors, la matrice harmonique, qui n'avait pas encore reçu son fondement axiomatique.

Mais ce texte marque le premier pas d'une véritable réflexion à propos d'une exploration débutée 35 ans plus tôt. En posant la problématique du conflit entre la fermeture et la rationalité, qui reflète celle du rapport entre la cohérence et la consonance, dans la musique, il a permis d'effectuer rapidement, par la suite, la distinction et le découplage (au niveau même de la notion d'accord) entre ce qui relève de la macrotonalité et ce qui relève de la microtonalité. S'en est suivi la théorie des chordoïdes, qui justifie pleinement la matrice harmonique.

La théorie des gammiers, qui rend compte de la morphologie des gammes naturelles, est apparue alors, de part en part, une théorie macrotonale. Elle ne reçoit de la contrainte rationnelle qu'un complément à sa structure d'ordre. Ça permet d'énumérer les gammiers et d'observer que les plus pertinents paraissent en premier, Ça permet également que soient éliminées les gammes symétriques, conformément à une brisure de symétrie partout observable. Lire à ce sujet Pourquoi les gammes ne sont-elles pas symétriques ?

Le caractère défectueux d'un passage est indiqué par l'usage de la couleur. Il est mis entre [crochets] quand il est erroné et il est parfois biffé et remplacé par [...].

Je viens, à peine, de découvrir Internet et mes premières minutes de furetage m'ont conduit tout droit au Just Intonation Network. Je suis un peu abasourdi depuis lors.

Si je comprends bien, il se trouve, depuis bon nombre d'années, un réseau de musiciens et de théoriciens qui explorent la voie microtonale et reprennent, avec les outils d'aujourd'hui, des pistes délaissées dans le passé, en vue de renouveler les assises du langage musical.

Alors, peut-être avez-vous déjà rêvé de voir inaugurer le nouveau millénaire par une théorie générale des microtons ?... un peu à la manière dont la théorie des quanta a inauguré le présent siècle en physique.

La vie est étrange. Je suis un chercheur québécois qui explore ce domaine, en solitaire, depuis trente-cinq ans, à partir d'une intuition sur la structure des gammes. Je ne suis ni musicien, ni mathématicien, mais, paradoxalement, je crois pouvoir affirmer que [j’ai en main] cette théorie générale, qui rend compte de la formation des gammes dans toutes les grandes traditions musicales : chinoise, japonaise, thaïlandaise, malaise, indienne, grecque, arabe, africaine, européenne, américaine (blues)...

Je n'ai découvert que récemment la portée universelle de mon travail. J'ai rencontré, par hasard, un musicien qui m'a fourni une liste de gammes utilisées à travers le monde. Elles cadraient toutes parfaitement.

En gros, ma théorie décrit un ensemble ordonné de structures algébriques que j’appelle " gammiers ". J'ai pu constater que les premiers rangs correspondent à des gammes très répandues : chinoise, slendro, pelog, siamoise, rast, japonaise, Zarlino... En outre, les gammes naturelles que j'ai pu dénicher obéissent toutes aux axiomes de la théorie et sont des modes de gammier : blues, Pythagore, indienne, chromatique, enharmonique...

J’étais limité à l'occident et regardait seulement vers l'avenir... et voilà que le monde et son passé viennent confirmer ces vues. Le lointain système indien classique illustre de façon particulièment étonnante la pertinence de cette théorie. Grâce au gammier indien, il est enfin possible de découvrir, clairement, le comment et le pourquoi des 22 combinaisons de 3 shrutis inégaux, [ 22 70 90 ] cents, et de montrer ce qui motive l'absence de renversement pour " Ma 520 " et la présence d’une ambiguité pour le triton " Ma 612 / Pa 610 ".

Parti de considérations de symétrie à propos de la gamme de Zarlino, j'ai eu la chance de tomber sur un riche filon : j'ai dessiné mon premier gammier et soupçonné un ordre sous-jacent magnifique.

Ce gammier, nommé alors " Zarlino ", est le neuvième de la suite ordonnée des gammiers. C’est la plus petite structure algébrique, conforme aux axiomes universels découverts par la suite, qui contienne notre mode majeur, version Zarlino. Il contient également tous les modes diatoniques sans triton ; quant au mode lydien, usuel en jazz, on en trouve une interprétation intéressante dès le quatrième gammier avec un quasi-triton 11/8 et une sensible 11/6.

J'ai par la suite cherché à élaborer un métalangage mathématique pour définir rigoureusement les notions musicales qui concernent les intervalles, pour articuler consonance, dissonance, accord, complexité, majeur, mineur...

Combien ont cru à une hiérarchie des intervalles basée sur la simplicité des ratios ? Trop simple pour qu'on pense à préciser ! En définissant la complexité d'un intervalle a/b comme log(ab), on obtient une notion congrue à sa largeur log(a/b), permettant de construire un espace microtonal, où on peut :

De là, j’ai pu migrer lentement de l’empirique... à l’algorithmique... au formalisme algébrique... à l’axiomatique... à la problématique...

Le problème fondamental de l’[algèbre microtonale] est le conflit entre la rationalité ( intervalles rationnels ) et la fermeture ( axiome unique de la structure minimale de groupoïde ) ; car les groupes de rationnels non denses ( pour des gammes ayant un nombre fini de notes ) se limitent aux puissances d’un seul rationnel. Il est question de groupe car les quatre autres axiomes du groupe abélien sont toujours respectés.

Le tempérament égal, en tranchant pour la fermeture au détriment de la rationalité, a permis le déploiement de la musique tonale. Mais on peut se demander pourquoi, cherchant par tant de moyens à s’en évader, on s’accroche à cette échelle des douze demi-tons ?

Pour l’algèbre, l’absence de fermeture est radicalement déstructurant. Mais que signifie la fermeture pour la musique ? C’est la liberté de choix totale, des notes d’un ensemble fini, sans qu’un intervalle, entre deux notes quelconques, se situe en dehors de cet ensemble [...]. Aucun système tempéré n’a vraiment pu occulter la rationalité et, en conséquence, la liberté totale est illusoire.

Toutefois, si on pense à remplacer la fermeture, on doit sauvegarder le maximum de liberté. C’est ce que signifie pour la musique, l’un des axiomes spécifiques de la théorie, la semi-fermeture. [...]

En forçant une fausse fermeture, pour des raisons pratiques ou par manque d’approfondissement, on creuse un fossé entre les hémisphères gauche et droit du cerveau musicien. Les théories traînent loin derrière ce qui se joue, ou encore, prennent le devant et ont rarement le succès escompté.

À la palette nue, quasi-achromatique, des largeurs d’intervalle s’ajoutent, en renouant avec la rationalité, une dialectique simple/complexe des intervalles, et en éliminant la fausse fermeture, une dialectique interne/externe ( propre ou étranger au gammier), susceptibles de mieux refléter l’organisation des notes.

Non pas que les couleurs soient imperceptibles dans une gamme tempérée. Une quinte tempérée est d’abord perçue comme une quinte, par ses multiples relations contextuelles, puis comme tempérée, un peu rude, en l’isolant, avec du temps et de l’attention. Sinon, déploierait-on un tel procédé d’évitement dans la musique sérielle ?

Dans une oeuvre, il y a comparativement peu de notes mais beaucoup d’intervalles : verticaux ou horizontaux, consonants ou dissonants, entre notes proches ou éloignées, jouées ou évoquées en mémoire, en phase rythmique ou non, formant des motifs, des figures... Tous ces axes et tous ces agrégats ont une importance inégale et variable selon les oeuvres. Alors comment s’effectue la mise en relief ? Au-delà des règles propres à un style ou à un système, sur quoi s’appuie la perception des états et des mouvements ?

En négligeant, pour le moment, la dimension rythmique, une bonne part de la capacité structurante et texturante d’une palette de notes tient, à mon avis, à une perception contextuelle des intervalles beaucoup plus sophistiquée qu’on ose l’imaginer. Qu’on pense à la capacité de notre oeil à différencier les couleurs, à la perception contextuelle ( teinte perçue différemment selon celles qui l’entourent ), à l’attribution des couleurs aux objets ( variation considérable de teintes intégrées dans une perception simple ).

Jouée isolément, une note est un son : hauteur, durée, intensité, timbre ; dans le déroulement d’une oeuvre, c’est le noeud d’une multitude d’intervalles : pour chacun, une largeur approximative définie, mais une propriété interne/externe et une nuance de complexité qui exigent une attribution dynamique, une interprétation globale mouvante, optimisante, prospective, à multiples facettes.

Quelle complexité ! Mais c’est précisément ce qui plait au cerveau, ce qui l’amuse, ce pourquoi il est fait. Sinon vient l’ennui. Bien sûr, ça peut varier selon le type d’écoute : ou cultivée, férue de concepts appris, d’objets à reconnaître... ou plus instinctive, sans le support des mots ( aire symétrique de celle du langage dans le cerveau ). Mais ceci est une opinion et il est temps de revenir à l’essentiel.

La " théorie des gammiers " est purement mathématique. Elle part du groupe des rationnels positifs et envisage le problème suivant : trouver les axiomes qui donnent la structure la plus simple possible lorsqu’on enlève la fermeture ( considérations assez étrangères à la musique ). Elle décrit l’ensemble ordonné des structures qui répondent à ces axiomes et les outils de leur manipulation.

La merveille, c’est la pertinence musicale : l’inclusion universelle des gammes naturelles et de beaucoup d’auteurs anciens, puis l’occupation des premiers rangs par différentes traditions musicales…

Cette approche pourrait-elle élargir la sensibilité aux intervalles fins et soutenir son éducation ? Révèlerait-elle ce qui s’appréhende intuitivement dans la structure d’une oeuvre musicale ? Fournirait-elle, au surplus, un appui solide aux créateurs dans le renouvellement de leur conception des rapports de l’art avec la nature ?

L’argument, avec lequel on a dressé un mur entre l’harmonie majeure et l’harmonie mineure, est cette prétention à " l’existence dans la nature " des harmoniques. Avant la prise de conscience du chaos on imaginait le monde simple ( un éléphant glisse sur un plan incliné avec un coefficient de friction de... ). Certes, il y avait bien un peu de turbulence et de phénomènes mal analysés, mais bon...

Le chaos est partout. La partie simple du monde, celle où le son est périodique et analysable en termes d’harmoniques, est une vue de l’esprit. Qu’arrive-t-il lorsqu’on enlève l’attaque d’un son, qu’on reproduit seulement sa portion quasi-périodique ? Il est méconnaissable. Quant aux sous-harmoniques, elles sont bien présentes dans l’étude du chaos.

Ce qui compte finalement, ce n’est pas " l’existence naturelle ", mais le traitement de l’information : pas surtout dans l’oreille, surtout dans le cerveau. La dissymétrie vibratoire du tympan est l’indication d’une capture d’information non linéaire se prêtant à une analyse beaucoup plus complexe que la décomposition en harmoniques.

En attendant une meilleure compréhension du cerveau, pour départager les points de vue, on peut s’intéresser aux contraintes externes. Car le cerveau s’adapte aux contraintes ; ainsi, le spectre visible de l’oeil humain correspond à une fenêtre optique de l’atmosphère terrestre.

La coordination entre musiciens et la cohérence interne d’une oeuvre musicale exigent une précision objective qui contraste avec une appréciation subjective des largeurs d’intervalle variant d’une octave à l’autre, d’un individu à l’autre, d’une oreille à l’autre. On peut imaginer qu’une certaine régularité dans sa carte des hauteurs puisse être un atout pour un musicien, mais j’ai tendance à croire qu’un mécanisme simple de détection des coïncidences, comme il en existe dans la vision pour l’attribution des évènements aux objets, est nécessaire pour soutenir les constructions musicales.

Pour clore, voici un aperçu des axiomes de cette théorie qui, tout abstraits qu’ils paraissent, se concrétisent universellement dans l’architecture des hauteurs. La théorie se développe en trois phases qui incluent, [chaque fois, deux nouveaux axiomes] : les harmoïdes, les gammoïdes et les gammiers.

[...] Le nombre de tons constitue la dimension spectrale et le nombre de facteurs premiers utilisés, la dimension primale. [...] Cela permet d’ordonner " de façon naturelle " l’ensemble de tous les harmoïdes. Cet ordre, qui se répercute dans la structure plus fine de gammier, est corroboré, on l’a vu, par l’usage des gammes à travers le monde. [...]

On passe à la structure de gammoïde en ajoutant les axiomes qui suivent, dont les termes sont explicités plus loin : la " congruence de factorisation " (congruité) et la " divisibilité tonale " (contiguïté). Pour être comprises, ces notions requièrent d’abord quelques précisions.

En l’absence de fermeture, la réduction à des éléments plus simples, la factorisation, est conditionnelle à l’existence des produits successifs et dépend de l’ordre dans lequel est elle est effectuée. La structure d’arbre binaire convient bien pour représenter les différentes possibilités de décomposition.

D’autre part, comme la dimension spectrale des harmoïdes est finie, il existe des tons insécables, qui ne se factorisent pas en tons plus fins. Ce sont les tons premiers [...] ( exemple : 16/15, 10/9 et 9/8 dans le gammier de Zarlino ). Une factorisation est complète lorsque toutes les feuilles de l’arbre sont des tons premiers.

La " congruence de factorisation " signifie que tous les arbres de factorisation complète d’un même ton ont le même nombre de feuilles. La " divisibilité tonale " signifie que les tons, [...] mis-à-part l'unisson, sont factorisables de telle sorte qu'un des facteurs soit un ton premier.

Ces axiomes entraînent l’existence d’un épimorphisme unique ( dont le noyau soit l’unisson ) sur la structure additive des entiers relatifs. Le morphisme signifie que l’entier qui correspond à un produit d’intervalles composables est la somme des entiers qui correspondent à ces intervalles.

Ceci implique la partition unique des intervalles en classes d’équivalence pour chacun des entiers, [...]. L’ensemble des classes, munie de la multiplication de classes, acquiert, par isomorphisme, la structure de groupe abélien. C’est l’algèbre que pratiquent, sans le savoir, les musiciens lorsqu’ils additionnent des intervalles génériques, sans préciser leur grandeur ( exemple : tierce + septième = neuvième ).

L’ensemble des tons premiers est appelé générateur tonal, parce qu’il engendre les autres classes par ses puissances successives. [...] le gammoïde est épimorphe aux entiers modulo n et sa partition en classes forme un groupe cyclique.

La divisibilité tonale implique, en outre, que tous les tons fassent partie des modes du gammoïde, c’est-à-dire les chaînes tonales ou parcours conjoints d’une octave. Les dimensions propres au gammoïde sont celles de son générateur tonal ( d. tonale ), de sa base shrutale ( d. shrutale ), de son octave en degrés ( d. phonique ) et en shrutis ( d. shrutique ), le nombre de ses modes ( d. modale ) et une autre [...] ( d. harmonique ).

Pour obtenir les gammiers, on ajoute les axiomes de " régularité tonale " (régularité) et de " fertilité harmonique " (fertilité) qui sélectionnent les structures pertinentes sans ajout de dimension. Par définition, les gammes sont chacun des modes d’un gammier.

La " régularité tonale " exige que tous les tons premiers soient inférieurs à une demi-octave en vue de sélectionner les gammoïdes sans torsion.

Un peu à la façon d’un principe esthétique ( économie des moyens ), la " fertilité harmonique " exige que la dimension phonique soit supérieure à la dimension harmonique. Ça implique une dépendance linéaire et une plus grande fermeture.

Cet axiome entraîne que les suites d’harmoniques ( type Golden ) ne peuvent être des gammes dans le sens défini plus haut, bien qu’elles puissent correspondre à des modes de gammoïde sans torsion. Une autre conséquence est qu’une gamme ne peut avoir moins de cinq degrés ( pentaphonique ).

Pour clore l’annonce de cette théorie, je fais part de mon intention de mettre ces recherches à la disposition des musiciens et des chercheurs. Le moyen qui me parait le plus simple, pour le moment, est la création d’un site Internet. [...]